Question mathématique pour des règles (Oiseau es-tu là ?).

Voilà, comme le titre l'indique, il s'agit de poser une question mathématique. Bien entendu, ça a un rapport avec les AVH, et comme l'invocation d'Oiseau peut le laisser deviner, il s'agit d'un problème à base de calcul de proba lors des combats.
J'ai lu avec (beaucoup d') intérêt les pages d'explication que le volatile sus-dit a fait à propos des systèmes de LS et des DF, et ça m'a rappeler que parfois, un effet qui a l'air "intuitivement" pas mal, est complètement fumé quand on se penche sur la réalité des proba (en l'occurence, l'effet démesuré d'un seul point d'Habileté). Comme je suis intéressé par le fait de pouvoir équilibrer correctement (ou du moins "en toutes connaissances de cause", que si je balance des peaux de bananes sous le pied de mes aventuriers ce soit volontaire et calculé) mes AVH, je me suis dit que ça serait bien d'avoir quelqu'un qui ne soit pas, comme moi, une grosse quiche en math, qui puisse m'éclairer de ses lumières.

Donc, venons-en aux faits. Je me suis inventé un système (que j'aime beaucoup soit dit en passant), et la partie dont j'aimerais avoir le calcul est la suivante : les deux adversaires (restons-en au cas du duel simple) on chacun un total d'Attaque et de Défense. Lorsque l'un lance une attaque, on compare les aptitudes adéquates de chacun (l'Attaque de l'attaquant et la Défense du défenseur donc), et grace à une table chacun obtient son Seuil (exprimés en pourcentage), d'autant plus élevé que leur aptitude est élevée par rapport à celle de leur adversaire (exemple concret, un agresseur avec une Attaque de 15 contre un défenseur avec une Défense de 10, ils auront des Seuils respectifs de 60 et 40).
Chacun lance alors 1D100, et le but est de faire le jet le plus en-dessous possible de leur Seuil, celui obtenant la plus grande marge réussissant (si c'est l'attaquant, le coup porte, si c'est le défenseur, le coup ne porte pas). Pour reprendre l'exemple précédent, si l'attaquant obtient un 54 et le défenseur un 45, le premier a une marge de 6 (six points en-dessous de son Seuil) et le second a une marge de -5 (cinq points au-dessus de son Seuil).

La question est donc : connaissant le Seuil, comment calculer un pourcentage clair et net de chance de toucher ?
Voilà, merci d'avance à ceux qui sont plus matheux que moi et qui me sortiront de cette impasse ^^

Franchement rien qu'a lire ton topic si je doit faire ton avh je fais comme pour loup ardent, c'est a dire les combats je les zappe car ton systeme est (pour moi) trop complexe.

Tu rigoles, ça c'est la partie simple

En fait, une des raisons qui me poussent à demander de connaître les proba des rounds en plus de l'équilibrage, c'est justement pour pouvoir faire une version très simplifiée des règles (pour ceux qui n'aiment pas les versions "touffues" on va dire) tout en conservant approximativement les mêmes chances.
Le but final étant de donner le choix entre trois types de règles : "complètes", "simplifiées" ou "expéditives", et essayer de faire en sorte de garder un niveau de défis approximativement comparable dans les trois cas ("approximativement" étant le mot important quand même).

je ne comprends pas très bien Akka… d'après ton explication, c'est le Seuil qui EST le% de toucher ?

quant à le calculer, eh bien dans ton exemple on a 15/(15+10) = 60 et 10/(15+10)=40…
En admettant qu'ils aient 19 et 13, on aurait 19/32= 59 et 13/32 = 41
Enfin, si j'ai bien compris ton mode de calcul. Qui aboutirait à ce que des valeurs hautes se neutralisent plus ou moins, même si en valeur absolue la différence est élevée. Exemple, 50 contre 35 font 59 contre 41 aussi.

Ceci dit, et pour me référer à ce qui s'est passé avec mon Sindbad*, moi, ça ne me dérange pas d'utiliser une calculette en cours de jeu mais d'autres lecteurs si… je sais pas, c'est peut-être contre leur religion ? Je te conseille donc de fournir une table donnant les Seuils selon les valeurs d'Attaque et Défense possibles ( et tu pourras te payer une pinte de bon sang en imaginant la tête du lecteur qui verra les valeurs monter jusqu'à 150 alors qu'il commence avec 10 )





* Tu as lu mon Sindbad, n'est-ce pas ? Ne serait-ce que pour la mæstria à donner des valeurs totalement arbitraires aux tests tu devrais essayer

L'idée pour modéliser la situation est celle d'un tableau à double entrée :
- en ligne les scores possibles pour l'attaquant (100 lignes)
- en colonne les scores possibles pour le défenseur (100 colonnes)
- dans les cases, au croisement des colonnes et des lignes, un A si c'est l'attaquant qui gagne (meilleur marge), un D si c'est le défenseur, un E en cas d'égalité

Comme il y a 10.000 cases, les probas pour chacun des deux combattants de toucher sont égales :
- à (nombre de A)/10.000 pour l'attaquant
- à (nombre de D)/10.000 pour le défenseur

Evidemment, il est inconcevable de faire "concrètement" un tableau à 10.000 cases.

Pour parvenir plus facilement au bon nombre de A, de D et de E, il y a trois astuces :
- la première est de comprendre intuitivement comment se positionne dans le tableau la diagonale des E qui servira forcément de frontière entre une "zone" de A et une "zone" de D : si les seuils des deux combattants sont égaux, elle est pile sur la diagonale (en haut à gauche-en bas à droite) du tableau, sinon, elle se décale de (seuil du défenseur - seuil de l'attaquant) cases vers la droite
- la seconde est le fait que l'une des deux zones sera forcément un triangle ; pour calculer le nombre de cases de ce triangles, c'est [n x (n+1)]/2 où n est le nombre de cases de la base du triangle
- la troisième est le fait que le nombre de cases de l'autre zone sera égal à 10.000 - (nombre de E + nombre de cases du triangle)

Au final :
- proba de toucher si c'est l'attaquant qui a le seuil le plus bas : PB = [(99 - (seuil le plus élevé - seuil le plus bas)) x (100 - (seuil le plus élevé - seuil le plus bas)] / 20000
- proba de toucher si c'est l'attaquant qui a le seuil le plus élevé : PE = 1 - PB - [(100 - (seuil le plus élevé - seuil le plus bas)) / 10000]

EDIT : j'ai supposé que l'on compare même des marges négatives, par exemple si l'un obtient une marge de -4 et l'autre de -7, c'est celui qui a la marge de -4 qui gagne.

ashimbabbar a écrit:

je ne comprends pas très bien Akka… d'après ton explication, c'est le Seuil qui EST le% de toucher ?

Pas tout à fait. Le Seuil représente juste le "médian" autour duquel on calcule la marge. Il favorise donc celui des personnages qui a le meilleur score, en augmentant sa marge moyenne.

Citation :

quant à le calculer, eh bien dans ton exemple on a 15/(15+10) = 60 et 10/(15+10)=40…
En admettant qu'ils aient 19 et 13, on aurait 19/32= 59 et 13/32 = 41
Enfin, si j'ai bien compris ton mode de calcul. Qui aboutirait à ce que des valeurs hautes se neutralisent plus ou moins, même si en valeur absolue la différence est élevée. Exemple, 50 contre 35 font 59 contre 41 aussi.

Vi, exactement, c'est le but. Il s'agit d'une comparaison basée sur la division plutôt que sur la soustraction, ce qui permet (normalement) beaucoup plus de souplesse dans les différences de stat en évitant les rendemets excessifs dès qu'on s'éloigne des valeurs équivalentes.

Calculer le Seuil lui-même est trivial, c'est A/(A+B) pour l'un et B/(A+B) sur l'autre (le tout mis en table pour ne pas que le lecteur sorte sa calculatrice à chaque fois, je suis pas cruel à ce point quand même). Ce qui est plus difficile, c'est de calculer les chances GLOBALES de la réussite d'une attaque - prendre en compte les deux jets de dés et l'effet de la marge, donc.

Citation :

Je te conseille donc de fournir une table donnant les Seuils selon les valeurs d'Attaque et Défense possibles ( et tu pourras te payer une pinte de bon sang en imaginant la tête du lecteur qui verra les valeurs monter jusqu'à 150 alors qu'il commence avec 10 )

C'est déjà le cas pour la table, comme j'ai dit je suis pas cruel à ce point (et la calculatrice ne fait pas partie des objets que j'estime nécessaire à une AVH ^^).
Et non ça ne montera jamais jusqu'à 150 (enfin, pas avec des trucs à l'échelle humaine en tous cas). J'ai HORREUR de l'inflation démesurée des nombres, c'est épidermique, et j'ai même tendance à directement relier la capacité d'un designer à faire marcher son système en restant dans des valeurs raisonnables avec la qualité du système susdit.
Les valeurs "raisonnables" de ce système sont supposées commencer aux alentours de 10 pour une personne standard de niveau 0, et monter jusqu'à 30 pour un champion réputé à travers les contrées, et peut-être un truc fumé genre 40 pour une légende vivante (mais là on parle de légende, pas juste d'un des watmiyons de héros qui sauvent le monde comme chaque semaine hein, non, un truc qui marque non seulement sa génération mais les mille ans d'histoire qui suivent quoi).

Citation :

* Tu as lu mon Sindbad, n'est-ce pas ? Ne serait-ce que pour la mæstria à donner des valeurs totalement arbitraires aux tests tu devrais essayer

Je crains de ne pas être un fan de l'arbitraire


@Jareth : ouch, bon, je vais me pencher sur tout ça, ça n'a pas l'air piqué des vers, merci beaucoup pour la formule !

Bon, je comprends mieux.

Jareth the Goblin King a écrit:

Evidemment, il est inconcevable de faire "concrètement" un tableau à 10.000 cases.

Mais faire 50 tableaux de 20x10 cases est très possible dirais-je, avec un peu de patience.

Bon, après une journée à me taper des lignes de codes, je rempile dès mon retour, c'est beau l'abnégation.

Jareth the Goblin King a écrit:

EDIT : j'ai supposé que l'on compare même des marges négatives, par exemple si l'un obtient une marge de -4 et l'autre de -7, c'est celui qui a la marge de -4 qui gagne.

Oui, tout à fait, sinon ça ne serait plus logique ^^
En-dehors de toute considération mathématique, le concept derrière est tout simplement "faire le mieux possible".

(je vous ai fait grace des règles spéciales des Coups Critiques et du calcul des dégâts basés sur l'arme, l'armure et les stat et capacités des perso, ne me remerciez pas c'est tout naturel)

Citation :

- proba de toucher si c'est l'attaquant qui a le seuil le plus bas : PB =
[(99 - (seuil le plus élevé - seuil le plus bas)) x (100 - (seuil le
plus élevé - seuil le plus bas)] / 20000
- proba de toucher si c'est
l'attaquant qui a le seuil le plus élevé : PE = 1 - PB - [(100 - (seuil
le plus élevé - seuil le plus bas)) / 10000]

Ok, donc si j'ai bien suivi...
Si on considère que Seuil de l'attaquant = A et Seuil du défenseur = D...
Si S = 50, alors c'est 50/50, au moins ça c'est facile
Si S < 50, alors P(a) = [(99 - (D - A)) x (100 - (D - A))] / 20 000
Si S > 50, alors P(a) = 1 - {[(99 - (A - D)) x (100 - (A - D))] / 20 000} - [(100 - (A - D)) / 10 000]

C'est ça ?
Si l'on reprend l'exemple plus haut du 15 vs 10 (donc A60 vs D40), ça nous fait :
P(a) = 1 - PB - [(100 - (60 - 40)) / 10000]
= 1 - {[(99 - (60 - 40)) x (100 - (60 - 40))] / 20 000} - [(100 - (60 - 40)) / 10 000]
= 1 - {[(99 - 20) x (100 - 20)] / 20 000} - [(100 - 20) / 10 000]
= 1 - ((79 x 80) / 20 000) - (80/10000)
= 1 - (6400 / 20 000)
= 1 - (32 / 100)
= 68 %

J'ai bon ?
Quelque-part ça me semble un peu faible comme résultat quand même. C'est peut-être les égalités qui tempèrent le résultat, mais intuitivement j'imaginais plutôt un truc dans les 75 % (ce qui est peut-être tout simplement l'illustration parfaite de "l'intuition c'est foireux quand il s'agit de calculer des proba" note).

Ah, j'avais compris qu'il fallait ET réussir ET avoir une plus grosse marge que le Défenseur s'il réussit aussi. Ce qui aurait voulu dire beaucoup de coups esquivés/parés.

Non non, c'est juste celui qui fait la meilleure marge qui l'emporte (et j'ai pas encore tout à fait décidé pour ce qui se passe en cas d'égalité, surtout que bon ça a une chance sur 100 de se produire quoi ^^).

Bon en fait on peut rater automatiquement si on fait un échec critique, mais c'est annexe (et ça sera probablement pas dans les règles simplifiées de toutes façons :p).

Puisqu'on m'a invoqué…

"Connaissant le Seuil, comment calculer le pourcentage de chances de toucher ?"
Question intéressante, car au fond, tout le reste est inutile dans ton système. Seule cette probabilité finale est importante.

Données : Les Seuils calculés comme tu le décris seront toujours entre 0 et 100%, et symétriques (si l'un est 35% alors l'autre est 65%). Le gagnant de l'Assaut est celui qui fait le score le plus éloigné de son Seuil vers le bas. Cette règle s'applique même si les deux joueurs ont fait un score supérieur à leur Seuil (le "moins pire" gagne). On suppose que les chiffres aléatoires vont de 1 à 100 et non de 0 à 99.

A. Seuils 50/50 : La probabilité de gagner ou perdre l'assaut est également de 50/50 : seul le chiffre aléatoire est décisif.

B. Faisons un exemple avec 51/49 (héros/ennemi).
• Si le héros obtient 1 ou 2, l'ennemi ne peut pas battre ou égaliser son score, et perd automatiquement.
• Si le héros obtient 3 (écart de 48), l'ennemi ne peut qu'égaliser en obtenant 1 (écart de 48).
• Si le héros obtient 4 (écart de 47), l'ennemi peut égaliser avec un 2 (écart de 47) ou gagner avec un 1 (écart de 48).
• Si le héros obtient 5 (écart de 46), l'ennemi égalise avec 3, gagne avec 1 ou 2.
• Etc…
• Si le héros obtient 99 (écart de –48), l'ennemi égalise avec 97, gagne avec 1-96.
• Si le héros obtient 100 (écart de –49), l'ennemi égalise avec 98, gagne avec 1-97.

L'ennemi gagne donc dans 97 + 96 + 95 + 94 + … + 2 + 1 cas sur 10 000 ==> 97 x 98 / 2 = 4753 cas.
L'ennemi égalise dans 98 cas.
Le héros gagne dans tous les cas qui restent : 5149 cas.

Probabilité de gagner : 51.49 %

C. Faisons maintenant le travail avec 52/48 (toujours héros avantagé).
• Si le héros obtient 1, 2, 3, 4, l'ennemi ne peut pas battre ou égaliser son score, et perd automatiquement.
• Si le héros obtient 5 (écart de 47), l'ennemi ne peut qu'égaliser en obtenant 1 (écart de 47).
• Si le héros obtient 6 (écart de 46), l'ennemi peut égaliser avec un 2 (écart de 46) ou gagner avec un 1 (écart de 47).
• Etc…
• Si le héros obtient 100 (écart de –48), l'ennemi égalise avec 96, gagne avec 1-95.

L'ennemi gagne donc dans 95 + 94 + 93 + 92 + … + 2 + 1 cas sur 10 000 ==> 96 x 95 / 2 = 4560 cas.
L'ennemi égalise dans 96 cas.
Le héros gagne dans tous les cas qui restent : 5344 cas.

Probabilité de gagner : 53.44 %

On voit que les chances de gagner augmentent plus vite que le Seuil.

D. Pour finir, Soit 50+S le Seuil du héros (donc 50–S sera le Seuil de l'ennemi) avec S>0.
• L'ennemi gagne dans 2x(50–S) x (2x(50–S)–1) / 2 cas ==> se simplifie à 2S² – 199S + 4950
• L'ennemi égalise dans 100 – 2S cas
• Le héros gagne dans tous les cas qui restent : 4950 + 201S – 2S²

Voilà les formules dont tu as besoin. À toi de les convertir en tableau (S entre 0 et 50). N'oublie pas de diviser par 10 000 si tu veux des pourcentages. Tout est symétrique si le héros est désavantagé.

J'ajoute en terminant que ton système est beaucoup trop compliqué à décrire/expliquer/comprendre, pour quelque chose qui se résume à une simple épreuve en pourcentages. Par ailleurs, regarde la formule avec S=10 (ton exemple 60/40) : Le héros gagne dans 67.60% des cas, et non 60%. Cet écart entre l'intuition et la réalité ne fait que s'accroître à mesure que S augmente : un ratio de 75/25 donne déjà 87.25% des chances de gagner. Je ne sais pas si c'est volontaire ou non. À toi de voir comment tu perçois ça.

Oiseau a écrit:

J'ajoute en terminant que ton système est beaucoup trop compliqué à décrire/expliquer/comprendre, pour quelque chose qui se résume à une simple épreuve en pourcentages. Par ailleurs, regarde la formule avec S=10 (ton exemple 60/40) : Le héros gagne dans 67.60% des cas, et non 60%. Cet écart entre l'intuition et la réalité ne fait que s'accroître à mesure que S augmente : un ratio de 75/25 donne déjà 87.25% des chances de gagner. Je ne sais pas si c'est volontaire ou non. À toi de voir comment tu perçois ça.

Totalement volontaire ^^ Le système entier a été bâti autour de ça en fait. Je pensais même que l'augmentation était plus brutale pour tout dire. Les buts étaient :
- D'être fonctionnel même avec d'assez grands écarts de stat, tout en préservant une augmentation notable des chances pour des écarts minimes. En gros, il faut que chaque point gagné apporte une réelle utilité, tout en évitant les bond démesuré d'un système additif (atteindre la limite d'écart du jet de dés d'un système comme D20 ou DF rend pratiquement "impossible" un échec/une réussite, l'écart absolu étant le seul qui compte).
- Le système est pensé à la base pour un JdR, et les deux jets de dés séparés sont importants dans ce cas pour que chaque joueur puisse avoir "son" jet, au lieu que l'un d'eux assiste passivement à un jet qui le concerne. De plus je trouve ça plus cohérent avec l'idée générale d'avoir chacun des adversaires faisant son jet (vu que le but c'est de "réussir mieux que l'autre"). C'est aussi pour ça que je prévois une version "simplifiée" des règles, d'ailleurs - la "vraie" version restant la complète bien entendu, mais ça permet à ceux qui ont du mal à avaler des règles dans ce genre d'opter pour une version expéditive, même si se fera forcément avec des coupes à hache.

Merci encore à Jareth et toi pour m'éclairer de vos lumières mathématiques !